Простейшие свойства многочленов

Пусть $a, b, c, b_1, b_2$ – элементы кольца $K$. Тогда: 1. Если $a|b$, то $a|bc$ для любого $c \in K$. 2. Если $a|b_1$ и $a|b_2$, то $a|(b_1 \pm b_2)$

**Свойство 1** $a|b \implies b=ak$ для некоторого $k \in K$. Тогда $bc = (ak)c = a(kc)$. Следовательно, $a|bc$. **Свойство 2** $a|b_1, a|b_2 \implies b_1=ak_1, b_2=ak_2$ для некоторых $k_1, k_2 \in K$. Тогда $b_1 \pm b_2 = ak_1 \pm ak_2 = a(k_1 \pm k_2)$. Следовательно, $a|(b_1 \pm b_2)$. $\square$

Пусть $f, g \in K[x]$, где $K$ - кольцо. Тогда справедливы свойства: 1. $\deg(f \pm g) \leq \max(\deg f, \deg g)$ 2. Если $K$ - область и $0 \neq \alpha \in K$, то $\deg(\alpha \cdot f) = \deg f$ 3. Если ${} K$ - область и $f, g \neq 0$, то $\deg(f \cdot g) = \deg f + \deg g$

Доказательства очевидны из определения многочлена и степени.